Repartido de Meteorología Sinóptica 1
Preparado por Raúl E. Viñas


Trabajo con vectores

Las unidades básicas en Meteorología son Longitud, Masa, Tiempo y Temperatura.

En base a ellas en el sistema MKS se pueden definir las unidades para las variables meteorológicas como funciones de espacio y tiempo utilizándose varias clases de sistemas de coordenadas.

La principal diferencia está en la coordenada vertical que puede ser la altura geométrica (z), la presión (p), o la temperatura potencial. No se encuentra justificado utilizar un sistema de coordenadas esféricas que se adapta a la forma del planeta. Se utiliza un sistema cartesiano centrado en el centro del planeta.

Algunas variables meteorológicas como Temperatura, Presión y Densidad que solo tienen magnitud por lo que son escalares, mientras otras tienen magnitud dirección y sentido por lo que son vectoriales como la velocidad, la rotación y los gradientes.

En la notación se utiliza una flecha sobre la letra o se pone en negritas. Así el vector A tiene la magnitud A y sus componentes en un sistema cartesiano son Ax, Ay, y Az .

Inversamente se puede obtener la magnitud como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes. En cada eje se definen vectores unitarios que con medida de 1 coinciden con la dirección positiva de cada eje denominados i j k .

Se determina así que el producto de un escalar S y un vector A es otro vector con la dirección de A y magnitud igual al producto de S por el valor absoluto de A.

Igualdad y Opuestos Se dice que dos vectores son iguales si sus módulos coinciden en dirección y sentido. Y son opuestos si tienen la misma magnitud y sentido opuesto

Operaciones con vectores:

Suma y Diferencia

Siendo A : Axi + Ayj + Azk y B: : Bxi + Byj + Bzk

La suma de A+B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz) k
La diferencia A-B es la suma de A con el opuesto de B (-B)

En ambas operaciones el resultado es un vector.

Estas operaciones pueden ser realizadas gráficamente existiendo varias formas.

Entre las principales aplicaciones están la determinación del curso real de un avión sobre la tierra o el viento térmico.

Multiplicación

Existen varias formas pero en meteorología se utilizan principalmente la forma escalar (.) y la forma vectorial (x).
Multiplicación escalar: A.B

El producto escalar de dos vectores A.B es un escalar resultado del producto de los valores absolutos por el coseno del ángulo entre ellos menor o igual a 180º. Dados los valores del coseno i . j = j . k = k . i = 0 (cos 90º = 0 ) y i . i = j . j = k . k = 1 (cos 0º = 1)
Se ven ejemplos en la divergencia (nabla) . V o advección V . (nabla)S .

Multiplicación Vectorial: AxB

El producto vectorial de dos vectores es oto vector con magnitud igual al producto de los valores absolutos por el seno del ángulo entre ellos y sentido perpendicular al plano entre ellos con sentido dado por la regla del tornillo.

Teniendo los valores de Seno se tiene que : i x i = j x j = k x k = 0

i x j = -j x I = k j x i = -k
j x k = -k x j = I k x j = -I
k x i = - i x k = j i x k = -j

Esto puede ser resuelto por un determinante de tercer orden
i. j k
A x B Ax Ay Az
Bx By Bz

Ejemplos se ven e la Vorticidad (nabla)x V y el efecto de la rotación terrestre en una partícula.

Se considera un punto P que gira en círculos alrededor del eje terrestre. Su velocidad angular (Omega)que es un vector apuntando hacia el polo norte. El vector R es el vector posición de la partícula con origen en el centro de coordenadas en el centro del planeta. La magnitud de la velocidad lineal de P es (Omega) r en que r = R sen (PHI) siendo (PHI) = 90 – latitud. De aquí la velocidad lineal es (Omega) R sen (PHI) que es igual a (Omega)x r
V = (Omega)x r
Mas genéricamente: dA / dt = (Omega)x A


Diferenciación o derivación de vectores

Si se considera un campo escalar S variable según x, y, z, y t tenemos que a lo largo del movimiento :

dS = (S/t) dt + (S/x)dx + (S/y)dy + (S/z)dz y dividiendo entre dt

dS/dt = S/t + (S/x)(dx/dt) + (S/y)(dy/dt) + (S/z)(dz/dt) si se asume dx, dy, dz como variaciones de posición de una partícula en el tiempo dt, entonces dx/dt es la componente del eje x de la velocidad u

dS/dt = S/t + (S/x)(u) + (S/y)(v) + (S/z)(w)

La derivada de un vector es un vector. Consideremos A = Axi +Ayj + Azk, si sus componentes son función del tiempo con ijk constantes,:

dA/dt = (dAx/dt)i + (dAy/dt)j + (dAz/dt)k

Si consideramos que ijk pueden cambiar por ejemplo por la rotación del sistema de coordenadas que gira con velocidad angular  , entonces:

dA/dt = (dAx/dt)i + (dAy/dt)j + (dAz/dt)k + Ax (di/dt) + Ay (dj/dt) + Az (dk/dt)

Siendo d/dt de () =  x () por lo que los tres últimos términos son xA y los tres primeros son los de la variación en un sistema fijo.

En un sistema móvil la variación será igual a la del sistema fijo + (  x ())

Operador NABLA 

 i ( x) + i ( y) + k ( z)

Se puede considerar como un vector cuyas componentes indican diferenciación en el espacio y su uso tiene la ventaja de hacer la diferenciación de vectores mas simple.

Sus usos principales son en Gradiente de un escalar, Divergencia de un vector y Rotacional de un vector.


Gradiente del Escalar

Si opera sobre un escalar como por ejemplo Presión se obtiene : P =i ( Px) + j ( Py) + k ( Pz) que es el ascendente de la presión y -P es el gradiente de P.

De particular importancia es el Gradiente Horizontal mas relacionado con los “mapas”
horP = - ( i ( Px) +j ( Py) )
Si se multiplica por un r tomado a lo largo de una superficie isobárica = i x + j y
horP . r = - ( Px)x + ( Py)y y el resultado sera –dP que es 0 a lo largo de la isobara.
horP . r = 0

Para que sea 0 siendo que los factores no son 0 ambas deben ser perpendiculares (cos 90º = 0) con el gradiente dirigido hacia los valores menores. Coordenadas naturales.

Si r se toma en cualquier dirección con un ángulo C con horP, Se tiene que r Cos C es la distancia entre isobaras.

Divergencia de un vector

El producto escalar de dos vectores donde uno es V nos da la divergencia de ese vector.

V = ux + vy + wz Se utiliza mayormente el horizontal V .
Rotacional de un vector

Es el resultado del producto X entre  y otro vector es la vorticidad relativa que se toma respecto a los ejes.

i. j k
A x B x y z
u v w
Así las componentes horizontales de la velocidad sirven para determinar las características rotacionales de un sistema orientado verticalmente.