Tratamiento a dar del tema MASAS DE AIRE

El concepto de las masas de aire viene de la escuela noruega y es contemporáneo con la teoría del Frente Polar. Normalmente se define a una masa de aire como: "una porción de la atmósfera cuyas propiedades físicas son más o menos uniformes en la horizontal y su cambio abrupto en los bordes", definición dada por Bergeron en 1929.

Su origen se da por el intercambio energético y de materiales entre la atmósfera y el suelo cuando el aire queda “estacionado” sobre una determinada área.

Las transferencias energéticas entre el aire y el suelo se dan por procesos de conducción, convección y radiación. De ellos el más importante es el de radiación.

La transferencia por radiación es un fenómeno muy estudiado y que obedece a una serie de leyes físicas desarrolladas en el siglo XIX y XX aplicables tanto a la energía que recibimos del sol como a la que emite la tierra e incluso en este tiempo invernal a una estufa.

En clase veremos los enunciados y aplicaciones de las leyes de Kirchoff, Stefan-Botlzman, Wien, Beer y Planck.

A partir de ellas desarrollaremos aplicaciones y formulas que nos permitirán comprender la magnitud del intercambio energético que se da en el sistema Tierra-Atmósfera.

Apoyados en el conocimiento teórico de las leyes de radiación anotadas, se verá la forma en que la atmósfera se relaciona con la radiación solar incidente y la que emite el planeta entendiendo las diferencias entre ellas. Las variaciones en la composición atmosférica como por ejemplo por cenizas y la presencia de nubes será analizada y conceptualizada

Balance calórico del suelo.
Los conceptos de capacidad de calor, amplitud térmica y albedo se discuten para desarrollar el concepto de acumulación de calor (positiva y Negativa).
Se desarrolla el concepto de difusión en especial con respecto a calor y vapor de agua que se aplica paralelamente a contaminantes, nombre genérico que se aplica a todas las sustancias que se agregan a la atmósfera por procesos naturales o artificiales.

Sobre la base del balance de calor se desarolla el concepto de calentamiento y enfriamiento prolongado que se aplica a la evolución de las masas de aire con revisión de los procesos en un espacio tridimensional, utilizando para ello sondeos tipo para situaciones específicas.

Finalmente se da un repaso de las clasificaciones de las masas de aire en base a su origen geográfico y su contenido energético relativo.

Cambios de Presión

EL MECANISMO DE LOS CAMBIOS DE PRESIÓN

La presión atmosférica varía tanto en el ámbito espacial como en el temporal. De esa forma el balance geostrófico solo puede ser alcanzado por períodos muy cortos. Prevalecen así en la atmósfera continuos reajustes entre el viento y los cambiantes valores de la fuerza del gradiente de presión.
Interesa a nuestros efectos conocer los factores físicos responsables de las variaciones de la presión y para ello asumiremos que la presión es la resultante del peso de la columna de aire por unidad de área. De esta manera podemos tomar como válida la ecuación hidrostática (el alumno debe entender las limitaciones de esta suposición en la dinámica atmosférica) y apoyados en ella determinamos que la presión a un nivel h es el resultado de integrar entre el nivel h y el borde exterior de la atmósfera la densidad por la aceleración de la gravedad por la distancia o diferencial de las alturas consideradas ( el espesor de la capa)
Por consideraciones ya revisadas tomaremos a g como una constante y diferenciamos la expresión resultante respecto del tiempo obteniendo g multiplicado por la integral de h a infinito de la variación local de la densidad en el tiempo

La variación temporal del la densidad implica variaciones en la cantidad de masa por unidad de volumen. Apoyados entonces en el principio de conservación de la masa establecemos una de las ecuaciones básicas de la mecánica atmosférica llamada ecuación de la continuidad que indica que las variaciones temporales de la densidad son el resultado de las variaciones de densidad creada por el transporte de masa correspondiente a la componente u del vector velocidad a lo largo del eje x sumada a las que las otras componentes de la velocidad (v y w) generan por el transporte a lo largo de las direcciones de los ejes y y z.


Vemos aquí que en el límite superior la velocidad vertical sería 0 al tender a 0 la densidad cuando la altura tiende al infinito.

Esta ecuación es conocida como la ECUACIÓN DE LA TENDENCIA. De acuerdo con ella, la tendencia de la presión es determinada para un nivel h es el resultado del efecto integrado a lo largo de toda la columna de la divergencia (convergencia) horizontal de masa sobre ese nivel y el transporte vertical de masa por la base de la columna. Si la base de la columna coincide con la superficie terrestre y esta está nivelada, entonces no puede haber transporte de masa por la base y el segundo término queda = 0.

Podría entonces usarse esta ecuación para determinar los valores de la tendencia de la presión, conociendo los valores de divergencia o convergencia de masa en un espesor apreciable de la atmósfera y haciendo su suma algebraica para obtener el valor instantáneo de la tendencia que podría extrapolarse en el tiempo para determinar la tendencia y con ella los futuros valores de la presión para ese punto o para el campo de la presión en su conjunto.

Problemas prácticos de medición y conocimiento del comportamiento atmosférico limitan este simple desarrollo. Se ha determinado mediante mediciones de divergencia de masa que tomando espesores de solo algunos kilómetros se obtienen valores de la tendencia muy superiores a los observados, por lo que se deduce que sucesivas capas deben presentar valores de signos opuestos que limitan la acumulación o disminución de masa sobre un punto. Por otra parte las mediciones de la convergencia/divergencia de masas son aún hoy relativamente poco precisas.

Se determina entonces que el integral es una pequeña diferencia entre al menos dos números mucho mayores y la evaluación de esa pequeña diferencia es dificultada por lo imperfecto de las mediciones.

Si ahora expandimos el integrando de la ecuación podemos profundizar en la identificación de los procesos responsables,

El primer integral representa la divergencia horizontal de la velocidad que es un parámetro grande, compensado en la vertical, difícil de medir y conocido con poca precisión. El segundo representa la advección horizontal de masa que es de mas fácil medición y generalmente mucho menor que la divergencia horizontal de velocidad del primer integral. El último término puede ser importante y es igualmente difícil de medir.

Sobre esta base se desarrollará en clase la teoría Bjerknes-Holmboe sobre el movimiento de sistemas de presión.

APUNTES DEL TEMA: Ecuación del movimiento
Preparado por: Raúl E. Viñas

1 Ecuación del Movimiento.

El estudio del movimiento del aire se apoya en los conceptos básicos siguientes:

Ley de la Gravitación Universal
Reconociendo su validez, por lo general se asume que dentro de la porción de atmósfera de interés para la meteorología la variación de la fuerza de atracción terrestre con la altura de despreciable para la mayoría de los cálculos, por lo que la aceleración debida a la gravedad se considera constante.

Concepto de equilibrio de fuerzas
Esta idea tiene frecuentes aplicaciones dado que generalmente los sistemas sujetos a una combinación de fuerzas tienden a colocarse en un estado de equilibrio entre las fuerzas.

Las tres leyes del movimiento de Newton.
Concepto de Inercia que se enuncia como que los cuerpos en reposo tienden a mantenerse en reposo y los que están en movimiento tienden a mantenerse en movimiento de no actuar sobre ellos un sistema de fuerzas no balanceadas.
Concepto de Aceleración que se expresa en el sentido que el cambio producido en el momento de un cuerpo en el tiempo, es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y tiene ese sentido.
Concepto de Acción y Reacción que indica que para cada acción (fuerza) que se ejerce sobre un cuerpo hay una igual con sentido opuesto.

Ley de conservación de la masa
Este principio se expresa mediante la ecuación de la continuidad e impone una restricción básica al comportamiento de los fluidos.

Ley de Newton de la viscosidad
Es un enunciado teórico que relaciona las fuerzas ejercidas por una capa de un fluido viscoso en movimiento sobre otros o superficies sólidas y la variación de la velocidad dentro del fluido.

Sobre estos principios podemos comenzar a estudiar formas matemáticas de representar el movimiento del aire sobre la tierra, lo que es básico para el estudio numérico del comportamiento atmosférico.

La base será el concepto de Aceleración de Newton también conocido como la segunda Ley de Newton.
d(mV)/dt = (sumatoria)F

De inmediato debemos reconocer que este principio solo es aplicable en un sistema de coordenadas INERCIAL, al que podemos caracterizar como un sistema que no se acelera. Los sistemas basados en la tierra no son inerciales debido a que la base del sistema (la tierra) está en movimiento. Ante esto nos queda la opción de referirnos a algún sistema fijo universal contra el cual puedan ser medidas las aceleraciones de todos los demás sistemas o limitar la precisión del cumplimiento de este principio de antemano y definir los límites de tolerancia.

Así por ejemplo tomando el sistema de coordenadas terrestre de latitud, longitud y altura sobre el nivel del mar es posible trabajar sin grandes limitaciones en laboratorios o en los casos de la vida diaria donde las distancias a cubrir son mínimas respecto al tamaño del sistema en forma tal que puede ser considerado cuasi-inercial. El estudio de movimientos como son los atmosféricos o los oceánicos a gran escala ponen de manifiesto las características no inerciales del sistema y exigen un tratamiento especial.

Al tratar las ecuaciones que gobiernan el movimiento de la atmósfera podemos comenzar con un sistema de ejes cartesianos fijo en la tierra que a su vez gira sobre si misma con velocidad angular . El análisis del movimiento de un cuerpo en el primer sistema será entonces influido por la rotación terrestre. De tal influencia se define que a la sumatoria de las fuerzas por unidad de masa que actúan sobre el cuerpo de acuerdo con la 2º ley de Newton, se le agreguen:

La rotación del sistema con una magnitud R2 donde R es la distancia del cuerpo al eje de rotación. Esto tiene un efecto similar al agregado de otra fuerza que aleje al cuerpo del eje de rotación y actúa aún cuando el cuerpo está en reposo respecto al primer sistema.
El efecto combinado del movimiento del cuerpo respecto al primer sistema y la rotación del sistema conocido como Aceleración de Coriolis que tienen las siguientes propiedades:
Solo afectan las componentes del movimiento en un plano perpendicular al eje de rotación ( Plano ecuatorial).
En el hemisferio sur se dirigen a la izquierda de esas componentes del movimiento con una magnitud 2(Omega)V.
Dado que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad, no puede cambiar la velocidad del cuerpo sino solo su dirección.

Estos dos agregados son desviaciones no inerciales de la segunda ley de Newton debidas a la rotación terrestre. A fin de poder seguir considerando al sistema como inercial y por lo tanto aplicando convenientemente la segunda Ley de Newton estas desviaciones deben ser consideradas como fuerzas que actúan sobre los cuerpos y agregadas en el sistema de ecuaciones.

Antes de continuar debemos reconocer que para todos los cuerpos sobre la tierra existe una diferencia vectorial entre la gravitación definida por Newton y la gravedad para un observador sobre la superficie terrestre. A la gravedad la definiremos como la resultante de la suma vectorial de la fuerza de la gravitación, dirigida hacia el centro de la tierra, y la resultante de la rotación del sistema, dirigida hacia fuera del eje de rotación en un plano ecuatorial. La diferencia de dirección entre la Gravedad y la Gravitación no es mayor a una décima de grado a los 45º de latitud y disminuye a 0 en el ecuador y los polos, igualmente esa diferencia es responsable de la forma “geoide” del planeta y su efecto se acrecienta a medida que nos alejamos de la superficie terrestre por la disminución de la fuerza de gravitación. El vector gravedad es perpendicular a las superficies de igual potencial.

Se evita generalmente considerar la no esfericidad terrestre mediante la consideración del eje vertical de los sistemas de coordenadas a lo largo del vector gravedad y no el de gravitación. De esta forma se elimina la consideración de los efectos exclusivamente generados por la rotación del sistema que se limitan a la componente vertical y que quedan considerados en “g” (gravedad)

Visto así el movimiento de un cuerpo en la tierra esta determinado por la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el mismo a la que se suman las introducidas artificialmente para mantener la “inercialidad” del sistema.

Las ecuaciones del movimiento quedan entonces para cada eje definidas de la forma siguiente:

dv/dx = 2( sen  –  cos  ) + 1/m ( Fx)

dv/dy = 2 sen  + 1/m ( Fy)

dv/dz = 2 cos  - g + 1/m ( Fz)

En estas ecuaciones 1/m indica por unidad de masa y F representa todas las fuerzas externas. Por su importancia veremos brevemente la fuerza del gradiente de presión.

Si consideramos un pequeño cubo de fluido cuyos lados son dx,dy y dz. A lo largo del eje x la fuerza de la presión puede representarse para la cara izquierda del cubo como:
+p dy dz

donde el signo + indica que la fuerza se dirige hacia la derecha. En la cara derecha la fuerza es :
-(p + (dp/dx) dx) dy dz

donde el signo – indica que la fuerza se dirige a la izquierda.

Allí (dp/dx) dx representa la variación de la presión a lo largo del eje x en el cubo de lado dx . La fuerza neta en la dirección de x es la suma de las anteriores.

Dado que en las ecuaciones del movimiento se consideraban las fuerzas externas por unidad de masa, podemos dividir la fuerza de presión neta por la masa del cubo dM obteniendo:

Fuerza dela presión por unidad de masa = - (1/@) (dp/dx)

Aquí @ es la densidad media del cubo igual al cociente de la masa total entre el volumen.

Cómo resultado se ve que la fuerza es debida al gradiente o variación de la presión y que se dirige hacia las menores presiones, si repetimos lo anterior para los demás ejes las ecuaciones del movimiento resultantes para cada uno quedarían:
dv/dx = 2( sen  –  cos  ) - (1/) (dp/dx) + 1/m ( Fx)

dv/dy = 2 sen  - (1/) (dp/dy) + 1/m ( Fy)

dv/dz = 2 cos  - (1/) (dp/dz) – g + 1/m ( Fz)

Aquí F representa las fuerzas externas con prescindencia de la fuerza del gradiente de presión, los términos que comienzan con 2 representan la introducción de la “Fuerza de Coriolis” , g la gravedad y (1/) (dp/d_) la fuerza del gradiente de presión para cada eje

Para una ampliación y el análisis del sistema de coordenadas naturales, se refiere al alumno a los puntos 11-13 y 11-14 del texto de Haltiner y Martín


Bibliografía consultada:
Haltiner, G. y Martin, F. 1979, Meteorología General
Hess, S. 1959. Introduction to Theoretical Meteorology.
Martín, Donald E. 1983. Synoptic Applications in Dynamic Meteorology

Comunicación

Para poder recibir los apuntes en formato Word, enviar un correo a vinas.raul@gmail.com
Gracias.

CORIOLIS y los vectores.

¿Podemos utilizar el repartido sobre vectores para entender mejor a Coriolis?

Repartido de Meteorología Sinóptica 1
Preparado por Raúl E. Viñas


Trabajo con vectores

Las unidades básicas en Meteorología son Longitud, Masa, Tiempo y Temperatura.

En base a ellas en el sistema MKS se pueden definir las unidades para las variables meteorológicas como funciones de espacio y tiempo utilizándose varias clases de sistemas de coordenadas.

La principal diferencia está en la coordenada vertical que puede ser la altura geométrica (z), la presión (p), o la temperatura potencial. No se encuentra justificado utilizar un sistema de coordenadas esféricas que se adapta a la forma del planeta. Se utiliza un sistema cartesiano centrado en el centro del planeta.

Algunas variables meteorológicas como Temperatura, Presión y Densidad que solo tienen magnitud por lo que son escalares, mientras otras tienen magnitud dirección y sentido por lo que son vectoriales como la velocidad, la rotación y los gradientes.

En la notación se utiliza una flecha sobre la letra o se pone en negritas. Así el vector A tiene la magnitud A y sus componentes en un sistema cartesiano son Ax, Ay, y Az .

Inversamente se puede obtener la magnitud como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes. En cada eje se definen vectores unitarios que con medida de 1 coinciden con la dirección positiva de cada eje denominados i j k .

Se determina así que el producto de un escalar S y un vector A es otro vector con la dirección de A y magnitud igual al producto de S por el valor absoluto de A.

Igualdad y Opuestos Se dice que dos vectores son iguales si sus módulos coinciden en dirección y sentido. Y son opuestos si tienen la misma magnitud y sentido opuesto

Operaciones con vectores:

Suma y Diferencia

Siendo A : Axi + Ayj + Azk y B: : Bxi + Byj + Bzk

La suma de A+B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz) k
La diferencia A-B es la suma de A con el opuesto de B (-B)

En ambas operaciones el resultado es un vector.

Estas operaciones pueden ser realizadas gráficamente existiendo varias formas.

Entre las principales aplicaciones están la determinación del curso real de un avión sobre la tierra o el viento térmico.

Multiplicación

Existen varias formas pero en meteorología se utilizan principalmente la forma escalar (.) y la forma vectorial (x).
Multiplicación escalar: A.B

El producto escalar de dos vectores A.B es un escalar resultado del producto de los valores absolutos por el coseno del ángulo entre ellos menor o igual a 180º. Dados los valores del coseno i . j = j . k = k . i = 0 (cos 90º = 0 ) y i . i = j . j = k . k = 1 (cos 0º = 1)
Se ven ejemplos en la divergencia (nabla) . V o advección V . (nabla)S .

Multiplicación Vectorial: AxB

El producto vectorial de dos vectores es oto vector con magnitud igual al producto de los valores absolutos por el seno del ángulo entre ellos y sentido perpendicular al plano entre ellos con sentido dado por la regla del tornillo.

Teniendo los valores de Seno se tiene que : i x i = j x j = k x k = 0

i x j = -j x I = k j x i = -k
j x k = -k x j = I k x j = -I
k x i = - i x k = j i x k = -j

Esto puede ser resuelto por un determinante de tercer orden
i. j k
A x B Ax Ay Az
Bx By Bz

Ejemplos se ven e la Vorticidad (nabla)x V y el efecto de la rotación terrestre en una partícula.

Se considera un punto P que gira en círculos alrededor del eje terrestre. Su velocidad angular (Omega)que es un vector apuntando hacia el polo norte. El vector R es el vector posición de la partícula con origen en el centro de coordenadas en el centro del planeta. La magnitud de la velocidad lineal de P es (Omega) r en que r = R sen (PHI) siendo (PHI) = 90 – latitud. De aquí la velocidad lineal es (Omega) R sen (PHI) que es igual a (Omega)x r
V = (Omega)x r
Mas genéricamente: dA / dt = (Omega)x A


Diferenciación o derivación de vectores

Si se considera un campo escalar S variable según x, y, z, y t tenemos que a lo largo del movimiento :

dS = (S/t) dt + (S/x)dx + (S/y)dy + (S/z)dz y dividiendo entre dt

dS/dt = S/t + (S/x)(dx/dt) + (S/y)(dy/dt) + (S/z)(dz/dt) si se asume dx, dy, dz como variaciones de posición de una partícula en el tiempo dt, entonces dx/dt es la componente del eje x de la velocidad u

dS/dt = S/t + (S/x)(u) + (S/y)(v) + (S/z)(w)

La derivada de un vector es un vector. Consideremos A = Axi +Ayj + Azk, si sus componentes son función del tiempo con ijk constantes,:

dA/dt = (dAx/dt)i + (dAy/dt)j + (dAz/dt)k

Si consideramos que ijk pueden cambiar por ejemplo por la rotación del sistema de coordenadas que gira con velocidad angular  , entonces:

dA/dt = (dAx/dt)i + (dAy/dt)j + (dAz/dt)k + Ax (di/dt) + Ay (dj/dt) + Az (dk/dt)

Siendo d/dt de () =  x () por lo que los tres últimos términos son xA y los tres primeros son los de la variación en un sistema fijo.

En un sistema móvil la variación será igual a la del sistema fijo + (  x ())

Operador NABLA 

 i ( x) + i ( y) + k ( z)

Se puede considerar como un vector cuyas componentes indican diferenciación en el espacio y su uso tiene la ventaja de hacer la diferenciación de vectores mas simple.

Sus usos principales son en Gradiente de un escalar, Divergencia de un vector y Rotacional de un vector.


Gradiente del Escalar

Si opera sobre un escalar como por ejemplo Presión se obtiene : P =i ( Px) + j ( Py) + k ( Pz) que es el ascendente de la presión y -P es el gradiente de P.

De particular importancia es el Gradiente Horizontal mas relacionado con los “mapas”
horP = - ( i ( Px) +j ( Py) )
Si se multiplica por un r tomado a lo largo de una superficie isobárica = i x + j y
horP . r = - ( Px)x + ( Py)y y el resultado sera –dP que es 0 a lo largo de la isobara.
horP . r = 0

Para que sea 0 siendo que los factores no son 0 ambas deben ser perpendiculares (cos 90º = 0) con el gradiente dirigido hacia los valores menores. Coordenadas naturales.

Si r se toma en cualquier dirección con un ángulo C con horP, Se tiene que r Cos C es la distancia entre isobaras.

Divergencia de un vector

El producto escalar de dos vectores donde uno es V nos da la divergencia de ese vector.

V = ux + vy + wz Se utiliza mayormente el horizontal V .
Rotacional de un vector

Es el resultado del producto X entre  y otro vector es la vorticidad relativa que se toma respecto a los ejes.

i. j k
A x B x y z
u v w
Así las componentes horizontales de la velocidad sirven para determinar las características rotacionales de un sistema orientado verticalmente.

CORIOLIS

Para pensar.
Vivió entre los siglos XVIII y XIX.
En 1835 publicó sus trabajos que no se referían para nada ala atmósfera.
¿Como se entiende una fuerza que modifica la dirección y no la velocidad?
¿Es eso una aceleración?
James Bond podía saber en que hemisferio se encontraba al ver el giro de agua en un lavatorio. ¿Podemos nosotros?