jueves, 20 de mayo de 2010

APUNTES DEL TEMA: Ecuación del movimiento
Preparado por: Raúl E. Viñas

1 Ecuación del Movimiento.

El estudio del movimiento del aire se apoya en los conceptos básicos siguientes:

Ley de la Gravitación Universal
Reconociendo su validez, por lo general se asume que dentro de la porción de atmósfera de interés para la meteorología la variación de la fuerza de atracción terrestre con la altura de despreciable para la mayoría de los cálculos, por lo que la aceleración debida a la gravedad se considera constante.

Concepto de equilibrio de fuerzas
Esta idea tiene frecuentes aplicaciones dado que generalmente los sistemas sujetos a una combinación de fuerzas tienden a colocarse en un estado de equilibrio entre las fuerzas.

Las tres leyes del movimiento de Newton.
Concepto de Inercia que se enuncia como que los cuerpos en reposo tienden a mantenerse en reposo y los que están en movimiento tienden a mantenerse en movimiento de no actuar sobre ellos un sistema de fuerzas no balanceadas.
Concepto de Aceleración que se expresa en el sentido que el cambio producido en el momento de un cuerpo en el tiempo, es igual a la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y tiene ese sentido.
Concepto de Acción y Reacción que indica que para cada acción (fuerza) que se ejerce sobre un cuerpo hay una igual con sentido opuesto.

Ley de conservación de la masa
Este principio se expresa mediante la ecuación de la continuidad e impone una restricción básica al comportamiento de los fluidos.

Ley de Newton de la viscosidad
Es un enunciado teórico que relaciona las fuerzas ejercidas por una capa de un fluido viscoso en movimiento sobre otros o superficies sólidas y la variación de la velocidad dentro del fluido.

Sobre estos principios podemos comenzar a estudiar formas matemáticas de representar el movimiento del aire sobre la tierra, lo que es básico para el estudio numérico del comportamiento atmosférico.

La base será el concepto de Aceleración de Newton también conocido como la segunda Ley de Newton.
d(mV)/dt = (sumatoria)F

De inmediato debemos reconocer que este principio solo es aplicable en un sistema de coordenadas INERCIAL, al que podemos caracterizar como un sistema que no se acelera. Los sistemas basados en la tierra no son inerciales debido a que la base del sistema (la tierra) está en movimiento. Ante esto nos queda la opción de referirnos a algún sistema fijo universal contra el cual puedan ser medidas las aceleraciones de todos los demás sistemas o limitar la precisión del cumplimiento de este principio de antemano y definir los límites de tolerancia.

Así por ejemplo tomando el sistema de coordenadas terrestre de latitud, longitud y altura sobre el nivel del mar es posible trabajar sin grandes limitaciones en laboratorios o en los casos de la vida diaria donde las distancias a cubrir son mínimas respecto al tamaño del sistema en forma tal que puede ser considerado cuasi-inercial. El estudio de movimientos como son los atmosféricos o los oceánicos a gran escala ponen de manifiesto las características no inerciales del sistema y exigen un tratamiento especial.

Al tratar las ecuaciones que gobiernan el movimiento de la atmósfera podemos comenzar con un sistema de ejes cartesianos fijo en la tierra que a su vez gira sobre si misma con velocidad angular . El análisis del movimiento de un cuerpo en el primer sistema será entonces influido por la rotación terrestre. De tal influencia se define que a la sumatoria de las fuerzas por unidad de masa que actúan sobre el cuerpo de acuerdo con la 2º ley de Newton, se le agreguen:

La rotación del sistema con una magnitud R2 donde R es la distancia del cuerpo al eje de rotación. Esto tiene un efecto similar al agregado de otra fuerza que aleje al cuerpo del eje de rotación y actúa aún cuando el cuerpo está en reposo respecto al primer sistema.
El efecto combinado del movimiento del cuerpo respecto al primer sistema y la rotación del sistema conocido como Aceleración de Coriolis que tienen las siguientes propiedades:
Solo afectan las componentes del movimiento en un plano perpendicular al eje de rotación ( Plano ecuatorial).
En el hemisferio sur se dirigen a la izquierda de esas componentes del movimiento con una magnitud 2(Omega)V.
Dado que la aceleración de Coriolis es siempre perpendicular a la velocidad, no puede cambiar la velocidad del cuerpo sino solo su dirección.

Estos dos agregados son desviaciones no inerciales de la segunda ley de Newton debidas a la rotación terrestre. A fin de poder seguir considerando al sistema como inercial y por lo tanto aplicando convenientemente la segunda Ley de Newton estas desviaciones deben ser consideradas como fuerzas que actúan sobre los cuerpos y agregadas en el sistema de ecuaciones.

Antes de continuar debemos reconocer que para todos los cuerpos sobre la tierra existe una diferencia vectorial entre la gravitación definida por Newton y la gravedad para un observador sobre la superficie terrestre. A la gravedad la definiremos como la resultante de la suma vectorial de la fuerza de la gravitación, dirigida hacia el centro de la tierra, y la resultante de la rotación del sistema, dirigida hacia fuera del eje de rotación en un plano ecuatorial. La diferencia de dirección entre la Gravedad y la Gravitación no es mayor a una décima de grado a los 45º de latitud y disminuye a 0 en el ecuador y los polos, igualmente esa diferencia es responsable de la forma “geoide” del planeta y su efecto se acrecienta a medida que nos alejamos de la superficie terrestre por la disminución de la fuerza de gravitación. El vector gravedad es perpendicular a las superficies de igual potencial.

Se evita generalmente considerar la no esfericidad terrestre mediante la consideración del eje vertical de los sistemas de coordenadas a lo largo del vector gravedad y no el de gravitación. De esta forma se elimina la consideración de los efectos exclusivamente generados por la rotación del sistema que se limitan a la componente vertical y que quedan considerados en “g” (gravedad)

Visto así el movimiento de un cuerpo en la tierra esta determinado por la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre el mismo a la que se suman las introducidas artificialmente para mantener la “inercialidad” del sistema.

Las ecuaciones del movimiento quedan entonces para cada eje definidas de la forma siguiente:

dv/dx = 2( sen  –  cos  ) + 1/m ( Fx)

dv/dy = 2 sen  + 1/m ( Fy)

dv/dz = 2 cos  - g + 1/m ( Fz)

En estas ecuaciones 1/m indica por unidad de masa y F representa todas las fuerzas externas. Por su importancia veremos brevemente la fuerza del gradiente de presión.

Si consideramos un pequeño cubo de fluido cuyos lados son dx,dy y dz. A lo largo del eje x la fuerza de la presión puede representarse para la cara izquierda del cubo como:
+p dy dz

donde el signo + indica que la fuerza se dirige hacia la derecha. En la cara derecha la fuerza es :
-(p + (dp/dx) dx) dy dz

donde el signo – indica que la fuerza se dirige a la izquierda.

Allí (dp/dx) dx representa la variación de la presión a lo largo del eje x en el cubo de lado dx . La fuerza neta en la dirección de x es la suma de las anteriores.

Dado que en las ecuaciones del movimiento se consideraban las fuerzas externas por unidad de masa, podemos dividir la fuerza de presión neta por la masa del cubo dM obteniendo:

Fuerza dela presión por unidad de masa = - (1/@) (dp/dx)

Aquí @ es la densidad media del cubo igual al cociente de la masa total entre el volumen.

Cómo resultado se ve que la fuerza es debida al gradiente o variación de la presión y que se dirige hacia las menores presiones, si repetimos lo anterior para los demás ejes las ecuaciones del movimiento resultantes para cada uno quedarían:
dv/dx = 2( sen  –  cos  ) - (1/) (dp/dx) + 1/m ( Fx)

dv/dy = 2 sen  - (1/) (dp/dy) + 1/m ( Fy)

dv/dz = 2 cos  - (1/) (dp/dz) – g + 1/m ( Fz)

Aquí F representa las fuerzas externas con prescindencia de la fuerza del gradiente de presión, los términos que comienzan con 2 representan la introducción de la “Fuerza de Coriolis” , g la gravedad y (1/) (dp/d_) la fuerza del gradiente de presión para cada eje

Para una ampliación y el análisis del sistema de coordenadas naturales, se refiere al alumno a los puntos 11-13 y 11-14 del texto de Haltiner y Martín


Bibliografía consultada:
Haltiner, G. y Martin, F. 1979, Meteorología General
Hess, S. 1959. Introduction to Theoretical Meteorology.
Martín, Donald E. 1983. Synoptic Applications in Dynamic Meteorology

No hay comentarios:

Publicar un comentario en la entrada